Бројот на заболени во Битола во два наврати за краток период  се дуплирал. Еднаш од 9 јуни до 2 јули, и вториот пат од 2 јули до 26 јули. Ова во својата  математичко статистичка анализа го наведува професорот д-р Дејан Трајковски од Техничкиот факултет во Битола. Тој вели дека во моментот вирусот во државата се шири со аритметичка прогресија, додека пак во Битола со геометриска прогресија. 

Во Битола од 12.06 речиси постојано имаме високи вредности за R0, односно растот е експоненцијален. Сопирањето ќе започне штом R0 се спушти под единица и остане на тие нивоа барем две недели. Инаку, тоа што случаите воглавно се лесни и асимптоматски е ирелевантно за динамиката на епидемијата, во овие анализи ги разгледуваме само бројките на дијагностицирани и нивното темпо на раст без да се впуштаме во медицински анализи, вели професорот Трајковски.

Во Битола, на следните датуми ги имаме следните бројки:

            09.06.2020   30 дијагностицирани

            02.07.2020   57 дијагностицирани

            26.07.2020   116 дијагностицирани.

Забележуваме дека за 23 дена, од 09.06 до 02.07, приближно се дуплирал бројот на дијагностицирани, од 30 на 57. Потоа, за приближно ист број на денови, 24, бројот на инфицирани повторно се дуплирал, од 57 на 116. Ова е најочигледниот доказ за експонецијален раст, независно од формулите и графикот на сл. 2. Со други зборови, во еднакви временски интервали од 24 дена нема еднаков прираст, туку двојно поголем прираст.

За линеарниот и експоненцијалниот раст на бројот на дијагностицираните

            Во екот на Ковид-19 кризата секојдневно слушаме дека бројот на дијагностицирани се движи по линеарен или експоненцијален раст. Се споменува дневна промена на дијагностицираните и базичен репродукционен број R0. Што всушност значат овие поими?

            Како поедноставен, да го разгледаме најпрво линеарниот модел на растот. На пример, ако првиот ден имало само еден болен, вториот ден 4, третиот 7, низата броеви 1, 4, 7, 10, 13, 16 ја нарекуваме аритметичка прогресија. Разликата меѓу два соседни члена кај аритметичката прогресија е непроменлива и во овој пример изнесува 3. Со овој вид на прогресија се опишува линеарниот раст – сината линија на првиот дијаграм. 

Сл. 1 Линеарен и експоненцијален раст

            За разлика од линеарниот, експоненцијалниот раст се опишува со геометриска прогресија. На пример, ако првиот ден имало еден болен, вториот ден - 2, третиот – 4, низата броеви 1, 2, 4, 8, 16, 32 ја нарекуваме геометриска прогресија со количник q=2. Кај неа количникот на два едноподруго членови е константен (2:1=2,  4:2=2;  8:4=2,  16:8=2,  32:16=2).

            Веќе на прв поглед паѓа в очи дека експоненцијалнит раст започнува бавно, а потоа се побргу расте. Велиме дека брзината расте со константно забрзување, као кај некаков автомобил.

            Кај линеарниот раст нема забрзување, а брзината е постојана.

            Да искористиме уште една аналогија на епидемијата со механичките движења. Ако вкупниот број на дијагностицирани болни е аналоген на изминатиот пат според километражникот кај автомобил, дневната промена на дијагностицираните (новодијагностицираните) одговара на брзината на автомобилот, а она што кај автомобилот е забрзувањето, кај епидемијата се опишува со базичниот репродукционен број R0. Доколку овој број е еднаков на единица (R0=1) заразувањето е со константно темпо (брзина) по аритметичка прогресија и имаме линеарен раст (како сината линија на сл. 1). Ако е R0>1 тогаш бројот на дијагностицирани расте експоненцијално, односно по геометриска прогресија (црвената линија на сл. 1).

            Да се вратиме сега на вкупните броеви на дијагностицирани во Битола од 9.06.2020 до 26.07.2020, прикажан на сл. 2.

Сл. 2 Експоненцијален раст на бројот на Ковид-19 дијагностицирани во Битола

            Вистинските бројки се прикажани со сината линија и истите се менуваат со случајни дневни варијации. Меѓутоа, основниот тренд е експоненцијален и прикажан е со црвената линија. Експоненцијалниот модел е поставен со статистички методи и нема да навлегуваме во неговото добивање, но можеме да ја видиме нејзината математичка формула (иако не е многу битна за понатамошните разгледувања):

y = exp(0,525+0,0287*x)

каде y е бројот на вкупно дијагностицирани, а x e редниот број на денот, кој започнува од еден на ден 04.03.2020 – првиот ден на епидемијата во Македонија. exp() е експоненцијална функција за основа е=2,71828 – базата на природните логаритми.

            Оттука е најден и количникот на геометриската прогресија на дијагностицираните:

q = exp(0,0287) = 1,029

Овој број покажува дека секој нареден ден бројот на дијагностицирани во просек е 1,029 пати (за 2,9%) поголем од бројот на дијагностицирани претходниот ден. Со тоа забрзано темпо, за 24 дена бројот на дијагностицирани се дуплира. Времето на дуплирање се наоѓа по формулата:

T = ln(2)/ln(q) = 0,693/0,0287 = 24,1 дена

            Сега доаѓаме до најважното, како забрзува растот со текот на времето. Експоненцијалниот раст можеме да го воoчиме дури и без никакви математички формули. Доволно е да ги запишеме броевите на дијагностицирани на одредени датуми и да извлечеме заклучоци. Во конкретниот пример со Битола, на следните датуми ги имаме следните бројки:

            09.06.2020   30 дијагностицирани

            02.07.2020   57 дијагностицирани

            26.07.2020   116 дијагностицирани.

Забележуваме дека за 23 дена, од 09.06 до 02.07, приближно се дуплирал бројот на дијагностицирани, од 30 на 57. Потоа, за приближно ист број на денови, 24, бројот на инфицирани повторно се дуплирал, од 57 на 116. Ова е најочигледниот доказ за експонецијален раст, независно од формулите и графикот на сл. 2. Со други зборови, во еднакви временски интервали од 24 дена нема еднаков прираст, туку двојно поголем прираст.

            За разлика од моменталниот експоненцијален раст во Битола, на ниво на целата држава моментално имаме линеарен раст, по аритметичка прогресија, како што се гледа на сл. 3 после 04.06.2020. На графикот се обележани периодите со линеарен раст (без забрзување), кога репродукциониот број е R0=1, како и периодите на експоненцијален (т.е. забрзан) раст при R0>1. Забрзан раст имавме на почетокот на епидемијата во март и април, како и околу Рамазан бајрам и олеснувањето на мерките. Забавување имавме единствено за време на велигденскиот локдаун (заклучување) кога беше R0<1.

Сл. 3 Движење на бројот на дијагностицирани во Македонија по датуми

            Се надевам дека оваа кратка дискусија за прогресиите, во светло на тековната епидемија на Ковид-19 во Битола и Македонија ќе им биде инспирација на учениците за разбирање и учење на математиката, бидејќи таа всушност служи за да го опише светот околу нас – со бројки,пишува професорот Дејан Трајковски.